Про динамічний (детермінований) хаос, або чому прогноз погоди більше, ніж на 4-5 днів — це не прогноз

На третьому курсі інформатики в ЛНУ є предмет «Моделювання динамічних систем», протягом якого кожен студент має зробити доповідь на задану тему. Ділюсь своєю доповіддю, тема — «Перехід до концепції динамічного хаосу», бо, по-перше це цікаво, по-друге інформації на цю тему українською є дуже мало, і по-третє, цей запис в майбутньому має дуже пригодитись студентам Вовка В.Д, яким попадеться така сама тема :)

Текст доповіді не дослівний, але основне тут згадаю.

Зміст:

1. Вступ, трошки про динамічні системи
2. Поняття динамічного хаосу
3. Причина появи динамічного хаосу в системі
4. «Ефект метелика»
5. Як системи переходять до динамічного хаосу
6. Приклади динамічних систем
7. Джерела

Тема справді дуже цікава. Пояснюю я не науково, а так, що все може зрозуміти непідготована людина.

1. Вступ, трошки про динамічні системи

Щоб розказувати про динамічний хаос, спершу треба дати поняття динамічної системи. Динамічна (або детермінована) система — це такий математичний об’єкт, який відповідає реальній системі (фізичній, хімічній, біологічній, соціальній і тд.) Кожна реальна система має багато різних властивостей. А в динамічній системі ми абстрагуємось від всіх цих властивостей і вибираємо лише ті, які нас цікавлять. Ці властивості будуть динамічними змінними динамічної системи. Ці змінні змінюються за законами, які задає оператор еволюції системи. Тепер якийсь приклад, щоб стало зрозуміло.

Наприклад, є стрибаючий м’ячик.

Як фізичний об’єкт, він має багато різних властивостей:

• швидкість
• координати
• колір
• густина матеріалу
• коефіцієнт пружності
• і так далі

Ми вибираємо лише ті властивості, які нас цікавлять, наприклад:

• швидкість
• координати
• коефіцієнт пружності

…а від решти абстрагуємось. Тепер для нас цей м’ячик — це динамічна система, а обрані нами властивості — його динамічні змінні. Ці змінні змінюються за законами фізики, які і є оператором еволюції системи.

Динамічна система — це ланцюжок станів. Кожен наступний стан системи наперед визначений і він випливає з попереднього стану.

Кожне наступне значення динамічної змінної системи можна визначити за такою формулою , де — це початковий момент часу, — значення змінної в початковий момент часу, а — оператор еволюції. Система еволюціонує за певними законами, і знаючи ці закони та початковий стан системи, ми можемо передбачити її майбутній розвиток. Вернемося до прикладу з м’ячиком: знаючи початкові координати м’ячика і вектор швидкості, ми можемо змоделювати всі його наступні стани аж до того моменту, поки він повністю перестане рухатись.

Все було би класно, але так є не завжди.

Наприклад, візьмемо іншу динамічну систему — більярд. Ми знаємо усі закони, за якими рухаються та відбиваються більярдні кулі, як вони взаємодіють між собою, з бортами столу, з києм. Спробуємо аналітично змоделювати удар києм. Візьмемо якісь початкові координати для кожної кульки, силу і кут удару києм і так далі, і обчислимо координати кожної кульки від моменту удару, до моменту, коли усі кульки перестають рухатись. Все це цілком можливо зробити, бо це ж детермінована система, все підкоряється законам фізики. А тепер візьмемо справжній більярд, розставимо кульки так само, як в ситуації, яку ми щойно моделювали, і вдаримо києм в ту саму точку, під тим самим кутом і з тією ж силою, яку ми щойно моделювали. Кулька покотиться саме так, як у нашій моделі, вдарить саме ту кульку, яку ми і очікували, та кулька в свою чергу відіб’ється і вдарить інші — вже не зовсім так, як ми очікували, наступні кульки почнуть рухатись вже якось зовсім не так, як ми щойно моделювали. І в кінцевому результаті, коли ми подивимось на більярдний стіл, то побачимо, що координати кульок є абсолютно не такими, як в нашій моделі. Але ж система детермінована, чому ж ми тоді не змогли передбачити її поведінку. Шось не клеїться, є якийсь хаос.

2. Поняття динамічного хаосу

Динамічний хаос — це таке явище, при якому поведінка нелінійної системи виглядає випадковою, незважаючи на те, що вона описується детерміністичними законами.

Те, що система детермінована, означає, що всі процеси в ній взаємопов’язані, і ми, знаючи початкові умови і закони, за якими розвивається система, можемо передбачити будь-який її майбутній стан. Але ось є динамічний хаос, який ламає попереднє твердження, бо при ньому ми не можемо передбачити будь-який майбутній стан системи. І це дивно, бо якшо система детермінована, то в ній має бути порядок, а не якийсь хаос. Як це пояснити?

Насправді, динамічний хаос — це теж порядок. Просто дуже складний. Порядок є настільки складним, що нам він здається хаосом. Тобто хаос також підкоряється фізичним законам, як і все на світі.

3. Причина появи динамічного хаосу

Причиною появи хаосу в системі є екстремальна (тобто дуже і дуже велика) чутливість цієї системи до початкових умов.

Нічого у світі неможливо виміряти абсолютно точно, кожен вимірювальний прилад, так чи інакше, має якусь похибку. Тому при моделюванні певної динамічної системи початкові умови завжди є з похибками. Деякі системи не є чутливими до них, а деякі — дуже і дуже чутливі.

Повернемось до прикладу з м’ячиком: якщо кинути його раз, а потім ще раз, десь так само, як першого разу, то поскаче він теж десь так само, як першого разу. Маленька різниця у початкових умовах призвела до малої різниці у розвитку системи. Ця система не є дуже чутливою до початкових умов. А тепер, більярд: після двох майже однакових ударів кульки на столі будуть лежати зовсім по-різному — бо зробити два ідентичні удари — неможливо. Кут, сила удару, точка, куди припадає удар, будуть трошки іншими, тому перша кулька покотиться майже, але не зовсім так само, як минулого разу; після кожного зіткнення похибка лавиноподібно наростає, тому результати виходять зовсім різними. Ця система є дуже чутливою до початкових умов, тому ми можемо передбачити її розвиток лише до певного моменту, а далі починається хаос.

4. «Ефект метелика»

Це явище, коли незначний вплив на систему через деякий час може мати великі і непередбачувані наслідки, називають «ефектом метелика». Автором концепції є метеоролог Едвард Лоренц.

Якось він займався прогнозом погоди. Він вивів кілька диференціальних рівнянь, які описували рух потоків повітря в атмосфері та написав програму, яка за цими рівняннями і певними вхідними даними про атмосфера могла прогнозувати майбутню поведінку цієї системи. Усі вважали, що Лоренц досяг великого успіху, деякі колеги навіть постійно питали його, чи часом не треба сьогодні брати парасольку. Але одного разу він, для пришвидшення обчислень, запустив процес не з початку, а десь зсередини, ввівши дані з якоїсь роздруківки. Результати цих обчислень чомусь почали швидко віддалятись від попередніх. Як виявилось, на роздруківці були не точні дані, а округлені на кілька знаків.

Тоді Лоренц зрозумів, що в цій системі найменше відхилення у початкових даних з часом призводить до величезних змін у результаті. Тоді він і ввів поняття ефекту метелика, сказавши, що розв’язки рівнянь, які описують рух потоків повітря в атмосфері Землі може змінити навіть помах крил нещасного метелика, і що помах крил метелика у одній півкулі планети може спричинити торнадо на іншій.

Через якийсь час після цього було доведено, що складати прогноз погоди більше, ніж на 4-5 днів, немає ніякого сенсу. Прогноз на такий термін — це вже просто вгадування. Навіть якби комп’ютери, які займаються обчисленнями у метеоцентрах були у тисячі разів потужнішими, прогнози не можна було би зробити точнішими. Бо при замірах обов’язково є якісь похибки, які у такій складній динамічній системі, як атмосфера, уже за кілька днів кардинально міняють хід розвитку. Тому дивіться прогноз погоди правильно ;)

У Рея Бредбері є гарне оповідання під назвою «І пролунав грім», яке ілюструє «ефект метелика», хоч цей термін з’явився пізніше за саме оповідання і він не має жодного зв’язку з сюжетом. Далі спойлер, обережно :)

Події відбуваються у майбутньому. Є компанія, яка надає послугу «Сафарі крізь час». Клієнта відправляють кудись у минуле, де він має змогу вбити якусь дику екзотичну тварину.
Екельс, мисливець-любитель, за великі гроші відправляється на полювання в Мезозойську еру. Разом з ним — кілька працівників компанії — мисливці та провідники. Але полювання має жорсткі умови: вбити можна лише ту тварину, яка і так повинна була ось-ось загинути (наприклад, від дерева, яке впало), а, повертаючись, необхідно знищити усі сліди свого перебування (в тому числі витягнути кулі з тіла тварини), щоб не внести змін у майбутнє. Люди знаходяться на антигравітаційній стежці, щоб випадково не зачепити навіть травинки, оскільки це може спричинити непередбачувані зміни в історії. Керівник сафарі Тревіс попереджає:  

Розчавите ногою мишу — це буде рівносильно землетрусу, який спотворить вигляд усієї Землі, повністю змінить наші долі. Загибель однієї печерної людини — смерть мільярда її нащадків, задушених у зародку. Можливо, на семи пагорбах не з’явиться Рим. Європа назавжди залишиться дрімучим лісом, і лише в Азії розквітне життя. Наступите на мишу — і ви зруйнуєте піраміди. Наступите на мишу — і ви залишите на Вічності вм’ятину, розміром, як Великий каньйон. Не буде королеви Єлизавети, Вашингтон не перейде Делавер. Сполучені Штати взагалі не з’являться. Так що будьте обережними. Тримайтеся стежки. Ніколи не сходіть з неї!

 Під час полювання Екельс, побачивши тиранозавра, впадає в паніку і сходить зі стежки. Після повернення у свій час, мисливці несподівано помічають, що їх світ змінився: інша орфографія мови, а при владі замість президента-ліберала стоїть диктатор. Причина цієї катастрофи одразу з’ясовується: Екельс, зійшовши зі стежки, випадково розчавив метелика. Тревіс піднімає рушницю. Клацає запобіжник. Остання фраза повторює назву повісті «…І пролунав грім».

5. Як системи переходять до динамічного хаосу

На момент підготовки доповіді, дослідженими є три види переходу:

1. Каскад біфуркацій. Цей тип переходу до хаосу було відкрито при дослідженні залежності розміру біологічної популяції від часу. Було виявлено, що чисельність популяції коливається між певними стійкими величинами (нерухомими точками), число яких подвоюється при збільшенні значення зовнішнього параметра. Це триває до того часу, поки число нерухомих точок не стає безмежним при скінченному значенні параметра, і зміна популяції в часі стає хаотичною.  

   

   Це біфуркаційна діаграма. Математично вона записується так: . Тут змінюється від 0 до 1 і позначає чисельність популяції в n-му році, — початкова чисельність популяції (в нульовий рік), а — це додатній параметр, який характеризує швидкість росту популяції.

   Як бачимо, при чисельність популяції зростає пропорційно параметру . Після того, як стає більшим за 3, чисельність починає коливатись між двома стійкими величинами (у популяції починається конкуренція, сутички та ін.); коли більше за приблизно 3.45 — таких значень стає вже 4, коли більше за 3.54 — їх вже 8, і так триває доти, доки кількість цих нерухомих точок, між якими коливається чисельність популяції стає безмежною при скінченному параметрі , тобто настає хаос.

2. Другий тип переходу — чергування (рос. «перемежаемость», англ. «intermittency»). Цьому типу переходу властиве чергування фаз регулярного і хаотичного розвитку системи. Сигнал, який розвивається в часі регулярно, переривається сплесками хаосу. При збільшенні зовнішнього параметру частота таких сплесків збільшується, проміжки регулярного сигналу стають меншими, а хаотичного — більшими, так триває доти, доки сигнал не стає повністю хаотичним.

3. Про третій тип переходу я знайшов настільки мало інформації, що навіть нема чого розказувати. Тому описувати його не буду, але він існує :)

6. Приклади динамічних хаотичних систем

Два приклади я вже навів — більярдний стіл та атмосфера Землі. Ще кілька:

1. Подвійний маятник. Це такий маятник, який складається з маятника, до якого прикріплений маятник :). Це дуже хороший приклад системи, в якій проявляється динамічний хаос. Якщо взяти два однакових маятники, відхилити на однаковий кут, то вже через кілька коливань вони будуть повністю розсинхронізовані.

   

2. Більярди Синая. Ця система має вигляд плоскої області з вирізаним кругом посередині. Система ізольована від будь-яких зовнішніх сил. Всередині рухається частинка, яка відбивається від стінок і круга в центрі. Якщо запустити дві частинки, то при найменшій різниці у початкових траекторіях, згодом вони почнуть рухатись зовсім по-різному. В більярдах Синая може бути і якась інша конфігурація увігнутих поверхонь. Достатньо, щоб всередині цієї області була хоч одна увігнута поверхня або вирізаний круг. Тоді при русі частинок у їхніх траекторіях буде накопичуватись хаос.

   

3. Турбулентність. Це явище, при якому при збільшенні швидкості руху газу чи рідини в середовищі, у ньому самовільно утворюється багато нелінійних хвиль, вихорів. Ці хвилі утворюються випадковим чином, їх розмір і амплітуда міняються хаотично.

   Ілюстрація: підфарбована рідина оминає перешкоду (циліндр):

   Субмарина виринає з-під води. На фото ми бачимо ламінарні хвилі (передній план) та турбулентність (задній план):

   

7. Джерела

1. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение.
2. Кузнецов С. Динамический хаос.
3. Эткинс П. Порядок и беспорядок в природе.
4. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой.
5. Детермінований хаос
6. Теорія хаосу 
7. Ефект метелика
8. Едвард Лоренц
9. Динамический хаос
10. Логистическое отображение
11. Бифуркационная диаграмма
12. Каскад бифуркаций
13. Переход к хаосу через перемежаемость
14. Немного о хаосе и о том, как его сотворить
15. Теория хаоса
16. Это интересно: хаос и аритмии сердца
17. Теория хаоса
18. Dynamical billiards

Додатково: презентація.